Note 2
3.3 - Fare Analisi con l'Algebra

La teoria delle varietà prende alcuni spunti dalla geometria algebrica, dove uno spazio si sostituisce con lo spazio delle funzioni definite su di esso.

Ad esempio, preso aperto non vuoto, abbiamo già definito l'insieme
con intero oppure ;
abbiamo visto che questo diventa una -algebra commutativa, associativa e unitaria, con la somma e i due prodotti standard.

Vediamo altri fatti su questo spazio.

Osservazione 3.3.1 (non è mai integro).

Notiamo che non è mai integro come anello, nemmeno per e .

Infatti, consideriamo la funzione dell'Esempio 3.1.4, e la funzione ;
queste sono di classe , e vale per ogni .

​

Osservazione 3.3.2 (non ha elementi nilpotenti non banali).

Osserviamo che, al di fuori della funzione costante nulla, non possiede elementi nilpotenti.

Infatti, data e fissato , abbiamo con intero, se e solo se ;
dunque, è la funzione identicamente nulla su se e solo se è essa stessa identicamente nulla su .

Valutazione di funzioni in un punto; l'ideale
...

Prendiamo aperto non vuoto, e consideriamo l'algebra .
Fissato un punto , possiamo pensare di inviare ogni nel valore che tale funzione assume in ;
nasce allora il concetto di valutazione di una funzione:

Definizione 3.3.3 (Valutazione di una funzione in un punto).

Sia aperto non vuoto, e sia ;
si consideri l'algebra .

Si definisce la valutazione in delle funzioni in come la funzione definita ponendo

​
Si vede piuttosto immediatamente che è un omomorfismo suriettivo di -algebre (ossia è un omomorfismo tra questi spazi, sia come anelli che come -spazi vettoriali).

Interpretiamo quindi e come anelli, e definiamo il seguente sottoinsieme di : questo insieme è sia un ideale che un sottospazio vettoriale di .

Essendo suriettiva, dal primo teorema dell'omomorfismo (di anelli) troviamo che poiché un campo, deduciamo che è un ideale massimale di .

Grazie al Lemma di Hadamard (Proposizione 3.1.5) sotto le sue ipotesi possiamo ricavare dei generatori per :

Proposizione 3.3.4 (Generatori per l'ideale ).

Sia aperto non vuoto, stellato rispetto a un punto ;
al variare di , sia 𝓍la proiezione sulla -esima componente: .

In si ha 𝓍𝓍.

Dimostrazione

Che le funzioni 𝓍appartengano a è evidente.

D'altra parte, data una funzione , dal Lemma di Hadamard (Proposizione 3.1.5) otteniamo un'espressione del tipo con .

Algebra dei germi di funzioni
...

Procediamo ora come in 3.2 - Vettori Tangenti > Germi di funzioni per definire lo spazio dei germi di funzioni, di una classe di differenziabilità qualsiasi.

Definizione 3.3.5 (Germi di funzioni di classe in un punto).

Sia , e si fissi intero oppure ;
consideriamo l'insieme Definiamo la relazione dichiarando quando esiste intorno di , tale che .

Questa relazione è di equivalenza;
diciamo allora germe di in la classe di equivalenza .

Chiamiamo inoltre spiga dei germi di classe in l'insieme quoziente , che denotiamo semplicemente con .

Anche qui, se non c'è rischio di ambiguità, denoteremo il germe di una funzione in con lo stesso simbolo , ricordando che l'uguaglianza è riferita a un intorno di .
​
Come abbiamo visto nella sezione precedente, queste operazioni sono compatibili con ;
su disponiamo quindi delle operazioni indotte naturalmente da al variare di intorno di :
che rendono una -algebra commutativa, associativa e unitaria.

In analogia con l'Osservazione 3.2.3, facciamo la seguente

Osservazione 3.3.6 (Valutazione in rispetto ai germi di funzioni).

Come nel caso delle derivate direzionali, possiamo fare la stessa modifica per la valutazione , e rimpiazzare il dominio con .

Infatti, tutte le funzioni definite in un intorno di possono essere valutate in , e le funzioni di uno stesso germa hanno uguale valutazione, quindi questa resta ben definita.

Inoltre, così facendo, per compatibilità delle operazioni la valutazione resta un omomorfismo suriettivo di -algebre;
quindi, è ancora un ideale massimale, però di .

Infine, come nella Proposizione 3.3.4, vale anche qui 𝓍𝓍;
dato un germe in possiamo sempre restringere il rappresentante ad un intorno sferico aperto centrato in (il germe non cambia) che è stellato in , e applicare tale proposizione.

Quindi, d'ora in poi lavoreremo con .

Anelli locali
...

Lo spazio dei germi di funzioni in come anello non è di tipo qualsiasi, bensì ha proprietà piuttosto specifiche;
ad esempio, mostreremo ora che questo è un cosiddetto anello locale.

Definizione 3.3.7 (Anello locale).

Sia un anello commutativo unitario.

si dice locale quando ammette un unico ideale massimale .

​
Prima di procedere con la dimostrazione che è un anello locale, facciamo la seguente

Osservazione 3.3.8 (Condizione sufficiente per anelli locali).

Consideriamo anello commutativo unitario, e ideale massimale;
supponiamo che ogni sia invertibile.

Allora, è l'unico ideale massimale, dunque è un anello locale.

Infatti sappiamo che, se un ideale contiene un elemento invertibile, per assorbimento esso contiene e dunque tutto ;
dunque, se è un ideale con , allora .

​

Proposizione 3.3.9 (è un anello locale).

L'anello ha come unico ideale massimale.

Dimostrazione

Sappiamo che è massimale;
in virtù dell'Osservazione 3.3.8 dobbiamo solo far vedere che ogni è invertibile.

Prendiamo dunque un tale .
Abbiamo che , dunque per continuità esiste tutto un intorno di in cui , e dunque è definito il germe .

Abbiamo allora (ricordiamo che, trattando dei germi, l'uguaglianza è da interpretare in senso locale intorno a ).

​
Dimostriamo adesso che non è un anello noetheriano (ricordiamo che un anello si dice noetheriano quando ogni suo ideale è finitamente generato);
premettiamo prima un risultato che ci servirà, che non dimostreremo.

Per prima cosa, introduciamo la seguente notazione:
dato un insieme , denotiamo con l'insieme dei prodotti di elementi in .

Lemma 3.3.10 (Teorema di intersezione di Krull).

Sia un anello commutativo unitario, locale e noetheriano;
sia un ideale proprio di .

Si ha .

​

Proposizione 3.3.11 (L'anello non è noetheriano).

L'anello non è noetheriano.

Dimostrazione

Forniamo la dimostrazione solo nel caso , cioè con germi di funzioni di una variabile.
Supporremo inoltre , per semplicità.

Consideriamo gli ideali al variare di intero.
Sappiamo dall'Osservazione 3.3.6 che 𝓍, e deduciamo abbastanza immediatamente che segue allora 𝓍(dove 𝓍è il prodotto volte della funzione 𝓍).

Prendiamo adesso la funzione come nell'Esempio 3.1.4;
questa appartiene a , e si ha per ogni intero.

Ne viene che .
L'idea sta nel considerare, fissato intero, la funzione pari a 𝓍, estesa per continuità in (in cui dunque vale );
questa è ancora in (per vederlo basta applicare il teorema di L'Hopital), e vale 𝓍.

Poiché identicamente ed essendo un anello locale (Proposizione 3.3.9), dal Lemma 3.3.10 deduciamo che non è Noetheriano.

Da questa proposizione segue quindi che anche non è noetheriano, per alcun aperto;
se infatti un ideale è finitamente generato da , passando ai germi in un punto otterremmo sempre , per compatibilità delle operazioni tra i due spazi.

L'insieme e il quoziente
...

Adesso, consideriamo negli spazi e l'insieme costituito dalle combinazioni lineari di prodotti di elementi in .

Osservazione 3.3.12 (Ideale nel caso ).

Se (cioè per funzioni / germi di classe , ossia continue), si ha .

Infatti, fissata continua, si ha .

​
Vediamo subito che questo insieme è sia un ideale che un -sottospazio vettoriale di (o ), contenuto in ;
ha senso dunque considerare il quoziente , che diventa una -algebra con le operazioni indotte da (o ).

Proposizione 3.3.13 (come spazio vettoriale).

Sia aperto e stellato rispetto a un punto ;
lavoriamo nello spazio oppure .

Gli elementi 𝓍𝓍sono linearmente indipendenti in visto come -spazio vettoriale.
Se inoltre , essi costituiscono una base per tale spazio.

Dimostrazione

Facciamo intanto vedere che tali funzioni sono linearmente indipendenti;
consideriamo quindi una generica combinazione lineare nulla in , che corrisponde a una funzione del tipo 𝓍, e mostriamo che .

Essendo un elemento di , ha in generale una legge del tipo Basta ora osservare che ​
Dobbiamo ora far vedere che nel caso le funzioni indicate generino anche tutto .
Prendiamo quindi una generica funzione di classe , e applichiamo il Lemma di Hadamard (Proposizione 3.1.5): Adesso, a ciascuna delle applichiamo nuovamente il Lemma di Hadamard: Otteniamo così l'espressione 𝓍𝓍𝓍passando al quoziente modulo otteniamo quindi ciò che volevamo.

​

Corollario 3.3.14 (Dimensione dello spazio vettoriale per ).

Si consideri lo spazio con aperto stellato, o con .

Lo spazio come -spazio vettoriale ha dimensione ;
una sua base è data dai vettori 𝓍𝓍.

Dimensione di nel caso
...

La Proposizione 3.3.13 fornisce una base solo nel caso ;
infatti, il Lemma di Hadamard (Proposizione 3.1.5) nel caso ci permette esprimere una funzione di classe per mezzo di funzioni di classe , ma non necessariamente (addirittura questo Lemma non può essere applicato per ).

Vogliamo quindi capire cosa succede alla dimensione di nel caso .
Se abbiamo l'Osservazione 3.3.12, che ci dice sostanzialmente che è la -algebra nulla , che dunque ha dimensione come -spazio vettoriale.

Per dobbiamo invece lavorare un po' di più.

Lemma 3.3.15 (Aumento di classe).

Sia aperto, e sia ;
lavoriamo nello spazio oppure , con intero.
Siano .

Esiste un intorno di tale che (o, in termini di germi, ).

Dimostrazione

Per semplicità lavoriamo con ;
il procedimento si mantiene identico passando ai germi.

Applichiamo la formula di Taylor con resto secondo Peano, a e ;
per ogni abbiamo quindi la scrittura dove e sono polinomi di grado almeno , e si annullano in .

Moltiplicando le due espressioni membro a membro, troviamo allora intorno di , tale che con ;
la motivazione di questa scrittura sta nel fatto che e sono funzioni limitate in un certo intorno di , in quanto e sono polinomi di grado almeno che si annullano in .

A questo punto, è immediato dedurre che , quindi in particolare è di classe .

​
Fatto ciò, possiamo vedere cosa succede alla dimensione di .

Proposizione 3.3.16 (Dimensione dello spazio vettoriale per intero).

Sia aperto, e sia ;
lavoriamo nello spazio oppure , con intero.

Lo spazio vettoriale ha dimensione almeno pari alla potenza del continuo.

Dimostrazione

Per semplicità supponiamo ;
inoltre, per il momento supponiamo anche , quindi lavoriamo con funzioni in una variabile.

Per ogni definiamo la funzione ;
notiamo che , e anche .

Passiamo queste funzioni al quoziente ;
vogliamo provare che, per ogni distinti, le funzioni sono linearmente indipendenti in .

Dunque, consideriamo la generica combinazione lineare nulla in questo spazio, che corrisponde a una funzione .

Stando in , possiamo scrivere , con ;
per il Lemma 3.3.15, troviamo che .

Poiché le funzioni non stanno in , deve necessariamente seguire .

​
Quindi, abbiamo acquisito la tesi per ;
per basta comporre le a destra con la proiezione su una coordinata, ad esempio la prima, e ripetere il procedimento con queste funzioni.

Derivate direzionali tramite ; lo spazio tangente di Zariski
...

Perché ci siamo presi la briga di studiare lo spazio così a fondo?
L'idea è che vogliamo dare una nozione algebrica dello spazio tangente, senza ricorrere al calcolo differenziale.

In questo pararafo vedremo come torna utile per definire questo spazio tangente.

​
Come abbiamo visto in 3.2 - Vettori Tangenti > Vettori tangenti geometrici e derivate direzionali e nell'Osservazione 3.2.3, al variare di risulta ben definita la mappa derivata direzionale Quello che facciamo ora è restringere il dominio a , e poi quozientarlo modulo ;
siamo motivati a fare questa scelta in quanto:

  • la derivata direzionale di una funzione non cambia se aggiungiamo a questa una costante;
    quindi, possiamo sempre supporre ;
  • derivare è come prendere la migliore approssimazione lineare, il che significa eliminare termini quadratici e superiori, tramite il passaggio al quoziente modulo .

Distinguiamo questa nuova mappa dalla precedente aggiungendo una barra di sopra: Questa mappa è ancora ben definita:
data infatti una funzione , questa è del tipo con , ed essendo una derivazione in (Teorema 3.2.6), troviamo che (Lemma 3.2.5, secondo punto).
Essendo le operazioni sul quoziente indotte naturalmente da (come sottospazio vettoriale di ), deduciamo anche che questa mappa è ancora un'applicazione -lineare.

Adesso, facciamo la seguente cruciale

Osservazione 3.3.17 (Osservazione: Lo spazio ).

Le mappe al variare di sono funzionali lineari su , ossia sono elementi dello spazio duale .

Consideriamo in particolare le derivate parziali al variare di ;
queste sono strettamente correlate con la base 𝓍𝓍per , indicata nel Corollario 3.3.14;
infatti, valutando le derivate parziali in questi elementi abbiamo 𝓍per ogni , dove è la delta di Kronecker.

Ma allora, troviamo che corrisponde esattamente alla base duale di , per .

A questo punto, sappiamo allora dove andare a parare:
vogliamo identificare canonicamente lo spazio con lo spazio duale .

Teorema 3.3.18 (Isomorfismo naturale tra e ).

Sia .
Lavoriamo nello spazio .

La mappa è un isomorfismo di -spazi vettoriali.

Dimostrazione

La linearità di è immediata.

Basta ora considerare l'Osservazione 3.3.17 per dedurre che invia una base del dominio in una base del codominio;
dunque, è un isomorfismo.

Similmente al Teorema 3.2.6, questo teorema identifica lo spazio dei vettori tangenti geometrici con lo spazio astratto ;
a questo spazio diamo un nome preciso.

Definizione 3.3.19 (Spazio tangente di Zariski).

Sia , e consideriamo lo spazio .

Si dice spazio tangente di Zariski lo spazio .

Table Of Contents

3.3 - Fare Analisi con l'Algebra

Valutazione di funzioni in un punto; l'ideale

Algebra dei germi di funzioni

Anelli locali

L'insieme e il quoziente

Dimensione di nel caso

Derivate direzionali tramite ; lo spazio tangente di Zariski