La teoria delle varietà prende alcuni spunti dalla geometria algebrica, dove uno spazio si sostituisce con lo spazio delle funzioni definite su di esso.
Ad esempio, preso
abbiamo visto che questo diventa una
Vediamo altri fatti su questo spazio.
Notiamo che
Infatti, consideriamo la funzione
queste sono di classe
Osserviamo che, al di fuori della funzione costante nulla,
Infatti, data
dunque,
Prendiamo
Fissato un punto
nasce allora il concetto di valutazione di una funzione:
Sia
si consideri l'algebra
Si definisce la valutazione in
Si vede piuttosto immediatamente che
Interpretiamo quindi
Essendo
Grazie al Lemma di Hadamard (Proposizione 3.1.5) sotto le sue ipotesi possiamo ricavare dei generatori per
Sia
al variare di
In
Dimostrazione
Che le funzioni
D'altra parte, data una funzione
Procediamo ora come in 3.2 - Vettori Tangenti > Germi di funzioni per definire lo spazio dei germi di funzioni, di una classe di differenziabilità qualsiasi.
Sia
consideriamo l'insieme
Questa relazione è di equivalenza;
diciamo allora germe di
Chiamiamo inoltre spiga dei germi di classe
Anche qui, se non c'è rischio di ambiguità, denoteremo il germe di una funzione
Come abbiamo visto nella sezione precedente, queste operazioni sono compatibili con
su
In analogia con l'Osservazione 3.2.3, facciamo la seguente
Come nel caso delle derivate direzionali, possiamo fare la stessa modifica per la valutazione
Infatti, tutte le funzioni definite in un intorno di
Inoltre, così facendo, per compatibilità delle operazioni la valutazione resta un omomorfismo suriettivo di
quindi,
Infine, come nella Proposizione 3.3.4, vale anche qui
dato un germe in
Quindi, d'ora in poi lavoreremo con
Lo spazio
ad esempio, mostreremo ora che questo è un cosiddetto anello locale.
Sia
Prima di procedere con la dimostrazione che
Consideriamo
supponiamo che ogni
Allora,
Infatti sappiamo che, se un ideale contiene un elemento invertibile, per assorbimento esso contiene
dunque, se
L'anello
Dimostrazione
Sappiamo che
in virtù dell'Osservazione 3.3.8 dobbiamo solo far vedere che ogni
Prendiamo dunque un tale
Abbiamo che
Abbiamo allora
Dimostriamo adesso che
premettiamo prima un risultato che ci servirà, che non dimostreremo.
Per prima cosa, introduciamo la seguente notazione:
dato un insieme
Sia
sia
Si ha
L'anello
Dimostrazione
Forniamo la dimostrazione solo nel caso
Supporremo inoltre
Consideriamo gli ideali
Sappiamo dall'Osservazione 3.3.6 che
Prendiamo adesso la funzione
questa appartiene a
Ne viene che
L'idea sta nel considerare, fissato
questa è ancora in
Poiché
Da questa proposizione segue quindi che anche
se infatti un ideale
Adesso, consideriamo negli spazi
Se
Infatti, fissata
Vediamo subito che questo insieme è sia un ideale che un
ha senso dunque considerare il quoziente
Sia
lavoriamo nello spazio
Gli elementi
Se inoltre
Dimostrazione
Facciamo intanto vedere che tali funzioni sono linearmente indipendenti;
consideriamo quindi una generica combinazione lineare nulla in
Essendo un elemento di
Dobbiamo ora far vedere che nel caso
Prendiamo quindi una generica funzione
Si consideri lo spazio
Lo spazio
una sua base è data dai vettori
La Proposizione 3.3.13 fornisce una base solo nel caso
infatti, il Lemma di Hadamard (Proposizione 3.1.5) nel caso
Vogliamo quindi capire cosa succede alla dimensione di
Se
Per
Sia
lavoriamo nello spazio
Siano
Esiste un intorno
Dimostrazione
Per semplicità lavoriamo con
il procedimento si mantiene identico passando ai germi.
Applichiamo la formula di Taylor con resto secondo Peano, a
per ogni
Moltiplicando le due espressioni membro a membro, troviamo allora
la motivazione di questa scrittura sta nel fatto che
A questo punto, è immediato dedurre che
Fatto ciò, possiamo vedere cosa succede alla dimensione di
Sia
lavoriamo nello spazio
Lo spazio vettoriale
Dimostrazione
Per semplicità supponiamo
inoltre, per il momento supponiamo anche
Per ogni
notiamo che
Passiamo queste funzioni al quoziente
vogliamo provare che, per ogni
Dunque, consideriamo la generica combinazione lineare nulla in questo spazio, che corrisponde a una funzione
Stando in
per il Lemma 3.3.15, troviamo che
Poiché le funzioni
Quindi, abbiamo acquisito la tesi per
per
Perché ci siamo presi la briga di studiare lo spazio
L'idea è che vogliamo dare una nozione algebrica dello spazio tangente, senza ricorrere al calcolo differenziale.
In questo pararafo vedremo come
Come abbiamo visto in 3.2 - Vettori Tangenti > Vettori tangenti geometrici e derivate direzionali e nell'Osservazione 3.2.3, al variare di
siamo motivati a fare questa scelta in quanto:
Distinguiamo questa nuova mappa dalla precedente aggiungendo una barra di sopra:
data infatti una funzione
Essendo le operazioni sul quoziente
Adesso, facciamo la seguente cruciale
Le mappe
Consideriamo in particolare le derivate parziali
queste sono strettamente correlate con la base
infatti, valutando le derivate parziali in questi elementi abbiamo
Ma allora, troviamo che
A questo punto, sappiamo allora dove andare a parare:
vogliamo identificare canonicamente lo spazio
Sia
Lavoriamo nello spazio
La mappa
Dimostrazione
La linearità di
Basta ora considerare l'Osservazione 3.3.17 per dedurre che
dunque,
Similmente al Teorema 3.2.6, questo teorema identifica lo spazio dei vettori tangenti geometrici
a questo spazio diamo un nome preciso.
Sia
Si dice spazio tangente di Zariski lo spazio